Физические лица, за исключением гос. служащих, имеют право зарегистрировать ИП и начать собственное дело, не увольняясь с основного места работы. Они могут сотрудничать с работодателем на условиях трудового договора и оказывать услуги в качестве ИП
Если вас интересует вопрос, Можно ли оформить ИП, не сообщая об этом работодателю, то, да. Сотрудник не обязан уведомлять работодателя о том, что он открыл ИП и в свободное от основной работы время ведёт собственный бизнес
В трудовую книжку вносятся исключительно записи о работе по найму, а данные об ИП содержатся в государственном реестре